CFA — Как рассчитывать будущую стоимость денежного потока (FV)?
Рассмотрим временную стоимость денег (TVM) единичного потока денежных средств, а также порядок расчета будущей стоимости (FV) при различных способах начисления процентов.
Существует взаимосвязь между первоначальной инвестицией (PV), которая приносит доход по процентной ставке (r) за период, и будущей стоимостью (FV) этой инвестиции, которая будет получена через (N) лет или периодов.
Следующий пример иллюстрирует эту концепцию FV.
Предположим, вы вкладываете $100 (PV = 100) на депозитный банковский счет, который приносит доход 5% в год.
В конце 1 года вы получите $100 плюс проценты, рассчитываемые как 0,05 (times) 100 = $5, что в общей сложности составляет $105.
Чтобы формализовать этот пример расчета FV за 1 период, мы определяем следующие термины:
- (large PV)= текущая или приведенная стоимость инвестиций (англ. ‘present value’).
- (large FV_N) = будущая стоимость инвестиций через (N) периодов от текущей даты (англ. ‘future value’).
- (r) = процентная ставка за период.
Для (N = 1) формула для расчета будущей стоимости PV будет такой:
( dstL FV_1 = PV (1 + r) ) (Формула 1)
В нашем примере мы вычисляем будущую стоимость через 1 год от текущей даты:
( FV_1 = $100 (1.05) = $105 )
Теперь предположим, что вы решили инвестировать первоначальные $100 на 2 года с учетом суммы процентов, начисляющихся на ваш счет ежегодно (т.е. при ежегодном начислении сложных процентов).
В конце 1 года (на начало 2 года) на вашем счете будет $105, которые вы оставите в банке еще на год. Таким образом, при начальном размере инвестиций в $105 (PV = 105), сумма на конец второго года составит:
Обратите внимание, что проценты в размере $5,25, полученные за 2 год, составляют 5% от суммы, оставшейся на банковском счете на начало 2 года.
Еще один способ понять этот пример — отметить, что сумма, вложенная в начале 2-го года, состоит из первоначальной суммы в $100 плюс проценты $5, заработанные в течение 1-го года. В течение 2-го года первоначальная сумма вклада снова приносит проценты, а также проценты от процентов, которые были заработаны за 1-й год.
В приведенной ниже таблице вы более наглядно можете увидеть, как растут первоначальные инвестиции:
Проценты за 1 год ($100 (times) 0.05)
Проценты за 2 год от первоначальных инвестиций (100 (times) 0,05)
Проценты за 2 год от процентов, полученных за 1 год (0,05 (times) 5)
Процентный доход в размере $5, полученный за каждый период от первоначальных инвестиций в размере $100, известен как простой процент (англ. ‘simple interest’): процентная ставка, умноженная на основную сумму.
Основная сумма (англ. ‘principal’) — это сумма первоначально вложенных средств.
В течение двухлетнего периода вы получаете простые проценты в размере $10. Дополнительные $0,25, которые у вас образовались в конце 2 года, — это проценты, начисленные на сумму процентов в $5, которую вы заработали за 1 год и реинвестировали.
Проценты, полученные по процентам в этом примере, дают представление о явлении, которое известно как компаундинг или наращение или капитализация процентов или просто начисление сложного процента (англ. ‘compounding’).
Сложный процент, полученный от реинвестирования процентов, обеспечивает сильный эффект наращения инвестиций, потому что при заданной процентной ставке сумма процентов растет в каждом периоде.
Эффект наращения процентов усиливается с ростом величины процентной ставки. Например, $100, вложенные сегодня, стоили бы около $13,150 через 100 лет при начислении сложного процента по ставке 5%, но они также стоили бы более $20 млн. за тот же период при ставке 13%.
Чтобы проверить это, нам нужна общая формула, позволяющая рассчитать сложный процент для любого количества периодов. Следующая общая формула связывает текущую стоимость первоначальных инвестиций с их будущей стоимостью через (N) периодов:
( dstL FV_N = PV (1 + r)^N ) (Формула 2)
- (r) — процентная ставка за период, а
- (N) — количество периодов наращения процентов.
В примере с банком расчет будет таким:
( FV_2 = $100 (1 + 0,05)^2 = $110,25 )
В примере с инвестициями по ставке 13%:
Наиболее важным моментом, о котором следует помнить при использовании формулы будущей стоимости денежного потока FV, является то, что процентная ставка r и количество периодов наращения (N) должны соответствовать общему временному периоду. То есть, обе эти переменные должны быть определены в одних и тех же единицах времени.
Например, если (N) указана в месяцах, тогда r должна быть 1-месячной процентной ставкой.
Временная линия помогает нам отслеживать соответствие единиц времени процентной ставки и периодов. На графике временной линии мы используем знак (t), чтобы отметить момент начала / окончания периода. Он также обозначает номер (индекс) определенного периода.
Таким образом, текущая стоимость PV представляет собой сумму, которую можно инвестировать в текущую дату с номером (t) = 0. Мы можем ссылаться на момент окончания инвестиционного периода (срок возврата средств) как на (t = N).
Временная линия на рисунке ниже показывает эту связь.
На графике ниже первоначальные инвестиции PV отражены в периоде t = 0. Используя Формулу 2, мы перемещаем текущее значение PV вперед, к периоду (t = N), с помощью коэффициента ((1 + r)^N ).
Этот коэффициент называется фактором будущей стоимости (англ. ‘future value factor’).
Обозначим будущую стоимость на временной линии как FV и расположим ее в точке (t = N). Предположим, что будущее значение должно быть получено ровно через 10 периодов от текущей даты ((N) = 10).
Текущая стоимость PV и будущая стоимость FV разделены во времени через коэффициент ((1 + r)^ ).
Тот факт, что текущая (приведенная) стоимость и будущая стоимость разделены во времени, имеет важные последствия:
- Мы можем добавлять суммы денег только в том случае, если они индексируются в тот же момент времени.
- При заданной процентной ставке (r), будущая стоимость FV увеличивается с ростом количества периодов (N).
- Для данного количества периодов (N), будущая стоимость FV увеличивается с ростом процентной ставки (r).
Чтобы лучше понять эти концепции, рассмотрим три примера, иллюстрирующих применение формулы будущей стоимости.
Пример (1) расчета будущей стоимости FV с реинвестированием процентов по той же процентной ставке.
Допустим, вы — счастливый победитель лотереи с призом в размере $5 млн. после уплаты налогов. Вы инвестируете свой выигрыш в 5-летний депозитный сертификат (CD) в местном банке. CD обещает ежегодную выплату по годовой процентной ставке 7%.
Это банк также позволяет реинвестировать проценты по той же процентной ставке в течение срока действия депозитного сертификата.
Какую сумму вы заработаете через 5 лет, если будете реинвестировать начисленные проценты по ставке 7% в течение пяти лет?
Решение:
Вычислим будущую стоимость инвестиций FV, используя в формуле следующие значения в:
По истечении 5 лет у вас будет $7,012,758.65.
Обратите внимание, что фактор будущей стоимости округлен до шести десятичных знаков после нуля, но расчет может фактически отражать большую точность.
Например, фактор будущей стоимости в примере 1.402552 был округлен от 1.40255173, но расчет фактически выполняется (калькулятором или электронной таблицей) с фактором более 8 десятичных знаков после нуля.
Пример (2) расчета будущей стоимости FV без реинвестирования процентов.
Финансовая организация предлагает вам следующие условия: за инвестиции в размере ¥2,500,000 компания обещает выплатить вам единовременную сумму через 6 лет по годовой процентной ставке 8%.
Какова будет будущая стоимость инвестиций?
Решение:
Используйте следующие данные в Формуле 2, чтобы найти будущую стоимость FV:
Через 6 лет вы получите ¥3,967,186.
Наш третий пример — более сложная задача расчета FV, которая иллюстрирует важность отслеживания фактических календарных сроков.
Пример (3) расчета будущей стоимости с отсроченной единовременной инвестицией.
Менеджер пенсионного фонда ожидает, что его корпоративный клиент внесет $10 млн. через 5 лет от текущей даты. Норма прибыли активов фонда оценивается в 9% годовых.
Менеджер пенсионного фонда хочет рассчитать будущую стоимость этого взноса через 15 лет от текущей даты, то есть на дату, когда средства будут распределены пенсионерам.
Какой будет будущая стоимость?
Решение:
При индексе периода (t = 5) мы можем рассчитать будущую стоимость вклада, используя следующие данные в Формуле 2:
Эта задача очень похожа на предыдущие две, но есть одно важное отличие: временная линия инвестиций.
С текущей даты ((t = 0)) будущая стоимость через 15 лет составит $23 673 636,75.
Хотя будущая стоимость FV соответствует 10-летнему сроку начисления процентов, первоначальная стоимость в $10 млн. будет получена только через 5 лет от текущей даты.
Как показано на графике выше, первоначальные инвестиции в размере $10 млн. должны быть осуществлены через 5 лет, поэтому эта сумма индексируется как (t = 5) и отображается на временной линии в соответствующей точке.
Будущая стоимость инвестиций FV через 10 лет индексируется как (t) = 15, то есть 10 + 5.
Временные линии, подобные приведенной выше, могут быть чрезвычайно полезными при решении более сложных задач, особенно тех, которые связаны с несколькими потоками денежных средств.
Предположим, что менеджер пенсионного фонда также должен получить сегодня от корпоративного клиента $6,499,313,86.
Сколько будет стоить эта сумма через 5 лет?
Сколько она будет стоить через 15 лет?
Частота начисления процентов.
Рассмотрим инвестиции, для которых проценты выплачиваются более одного раза в год, т.е. инвестиции с разной частотой начисления процентов (англ. ‘compounding frequency’).
Например, многие банки предлагают ежемесячную процентную ставку, которая начисляется 12 раз в год. По такому вкладу банки начисляют проценты на проценты каждый месяц.
Вместо того, чтобы указывать периодическую ежемесячную процентную ставку, финансовые учреждения часто ссылаются на годовую процентную ставку, которую мы называем заявленной годовой процентной ставкой (англ. ‘stated annual interest rate’) или котируемой процентной ставкой (англ. ‘quoted interest rate’).
Заявленная годовая процентная ставка обозначается в формулах как rS. Заявленная годовая процентная ставка равна месячной процентной ставке, умноженной на 12.
Например, ваш банк может заявить, что за определенный депозит он платит 8% ежемесячно. В этом случае месячная процентная ставка составляет 0,08 / 12 = 0,0067 или 0,67%.
Эта ставка является сугубо ориентировочным значением, поскольку ((1 + 0,0067)^ = 1,083), а не 1.08. Значение ((1 + r_s)) не является фактором будущей стоимости для расчета процентов за период меньше 1 года.
Формула будущей стоимости может быть выражена в виде более чем одного периода составления отчетности в год.
( dstL FV_N = PV left(1 + right)^ ) (Формула 3)
- (r_s) — заявленная годовая процентная ставка,
- (m) — количество составляющих периодов года, a
- (N) — обозначает количество лет.
Обратите внимание на совместимость между заявленной процентной ставкой, периодической ставкой (r_s / m) и количеством периодов начисления (mN).
Периодическая ставка (англ. ‘periodic rate’) (r_s / m) представляет собой заявленную годовую процентную ставку, деленную на количество периодов начисления в году.
Общее количество периодов начисления (mN), представляет собой количество периодов начисления за 1 год, умноженное на количество лет.
Периодическая ставка (r_s / m) и количество периодов начисления (mN) должны быть совместимыми.
Пример (4) расчета будущей стоимости FV с ежеквартальным начислением процентов.
Продолжая пример с депозитным сертификатом, предположим, что ваш банк предлагает вам депозит с 2-летним сроком. Заявленная годовая процентная ставка в размере 8% начисляется ежеквартально, а также есть возможность реинвестирования процентов по той же процентной ставке. Вы решили вложить $10,000.
Сколько будет стоить депозит к моменту его закрытия?
Решение:
Вычислим будущую стоимость с помощью Формулы 3 следующим образом:
(PV) = $10,000
(r_S) = 8% = 0.08
(m) = 4
(r_s / m) = 0.08/4 = 0.02
(N) = 2
(mN) = 4(2) = 8 периодов начисления
К моменту закрытия депозит будет стоить $11,716.59.
Формула 3 не отличается от Формулы 2. Просто имейте в виду, что в ней используется периодическая процентная ставка, а экспонента — это общее количество периодов начисления.
Пример (5) расчета будущей стоимости FV с ежемесячным начислением процентов.
Банк предлагает вклад под 6% с ежемесячной выплатой начислений. Вы решили инвестировать $1 млн. на 1 год.
Какова будущая стоимость ваших инвестиций, если процентные платежи реинвестируются под 6%?
Решение:
Используя Формулу 3, найдем будущую стоимость инвестиции следующим образом:
(PV) = $1,000,000
(r_S) = 6% = 0.06
(m) = 12
(r_s / m) = 0.06/12 = 0.005
(N) = 1
(mN) = 12(1) = 12 периодов начисления
Если бы вам выплачивали 6% с годовым начислением, будущая стоимость составляла бы всего $1,000,000(1.06) = $1,060,000 вместо $1,061,677.81 при ежемесячном начислении.
Непрерывное начисление сложных процентов.
Приведенное выше обсуждение периодов начисления сложных процентов иллюстрирует дискретное начисление, связанное с расчетом процентов за определенный период времени.
Если количество периодов начисления в год становится бесконечным, то такое начисление процентов считается непрерывным.
Если мы хотим использовать формулу будущей стоимости FV с непрерывным начислением, нам нужно найти предельное значение фактора будущей стоимости для (m rightarrow infty ) (т.е. бесконечно много периодов начисления в год) в Формуле 3.
Формула для будущей стоимости суммы через (N) лет с непрерывным начислением:
( dstL FV_N = PV e^ ) (Формула 4)
Выражение (e^) является трансцендентальным числом (e approx 2,7182818), возведенным в степень (r_SN). Большинство финансовых калькуляторов имеют функцию (e^x).
Пример (6) расчета будущей стоимости FV с непрерывным начислением процентов.
Предположим, что инвестиции в размере $10,000 будут приносить 8% годовых с непрерывным начислением в течение 2 лет.
Мы можем вычислить будущее значение с помощью Формулы 4 следующим образом:
При такой же процентной ставке, но с использованием непрерывного начисления инвестиции в размере $10,000 вырастут до $11,735,11 за два года по сравнению с $11,716,59 при ежеквартальном начислении, как показано в Примере 4.
В таблице ниже показано, как заявленная годовая процентная ставка в размере 8% генерирует разные суммы будущей стоимости при годовом, полугодовом, ежеквартальном, ежемесячном, ежедневном и непрерывном начислении для первоначальной инвестиции в размере $1 (с округлением результата до шести знаков после запятой).
Как видно из таблицы, все шесть вариантов начисления имеют одинаковую процентную ставку в 8%, но дают разные результаты из-за различий в частоте начисления процентов (англ. ‘compounding frequency’).
Более частое начисление приводит к увеличению итоговой будущей стоимости FV. Итоговая сумма при непрерывного начисления — это максимальный результат, который можно получить при заявленной годовой ставке 8%.
Калькулятор расчёта стоимости финансовой цели
Поможет рассчитать, сколько будет стоить цель к заданному сроку, на основе её текущей стоимости и уровня инфляции.
Как работает калькулятор
При расчёте будущей стоимости финансовой цели калькулятор учитывает, насколько изменится покупательная способность денег к заданному сроку. Заполните поля и нажмите кнопку «Рассчитать». Вы можете двигать ползунки или указывать свои значения. Рядом с каждым полем есть поясняющая подсказка — просто наведите курсор на значок .
В результате вы узнаете, сколько будет стоить ваша цель к указанному сроку. Из-за влияния инфляции не только растут цены, но и снижается ценность денег, то есть на одну и ту же сумму в будущем вы сможете купить меньше, чем сейчас, — а финансовая цель окажется дороже, чем на старте.
проект «Открытие Инвестиции»
Открыть брокерский счёт
Тренировка на учебном счёте
Об «Открытие Инвестиции»
Москва, ул. Летниковская,
д. 2, стр. 4
8 800 500 99 66
Согласие на обработку персональных данных
Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+
АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).
ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.
Расчет Будущей стоимости в EXCEL
Будущая стоимость (Future Value), является суммой, в которую в будущем превратится определенная сумма денег, инвестированная ранее под известную процентную ставку. Она рассчитывается на базе концепции стоимости денег во времени: деньги, доступные в настоящее время, стоят больше, чем та же самая сумма в будущем, вследствие их потенциала обеспечить доход. Расчет Будущей стоимости, также как и Приведенной (Текущей) стоимости важен, так как, платежи, осуществленные в различные моменты времени, можно сопоставлять (сравнивать, складывать, вычитать) лишь после приведения их к одному временному моменту.
Будущая стоимость инвестиций зависит от того, каким методом начисляются проценты: простые проценты , сложные проценты или аннуитет (в файле примера приведено решение задачи для каждого из методов).
Простые проценты
Сущность метода начисления по простым процентам состоит в том, что проценты начисляются в течение всего срока инвестиции на одну и ту же сумму (проценты, начисленные за предыдущие периоды, не капитализируются, т.е. на них проценты в последующих периодах не начисляются).
При начислении простых процентов формула для расчета будущей стоимости (FV) инвестиций имеет следующий вид:
где PV — настоящая (приведенная) стоимость (сумма, которая инвестируется в настоящий момент и на которую начисляется процент); i — процентная ставка за период начисления процентов (например, если проценты начисляются раз в год, то годовая; если проценты начисляются ежемесячно, то за месяц (=годовая ставка/12)); n – количество периодов времени, в течение которых начисляются проценты.
Как видно из формулы FV (в MS EXCEL используется аббревиатура БС) это ни что иное, как наращенная сумма с использованием простых процентов. Про вычисление наращенной суммы при постоянной и переменной ставке можно прочитать в статье Простые проценты в MS EXCEL .
Примечание . В MS EXCEL нет отдельной функции для расчета Будущей стоимости по методу Простых процентов. Функция БС() используется только для расчета в случае сложных процентов и аннуитета. Хотя, указав в качестве аргумента Кпер значение 1, а в качестве ставки указать i*n, то можно заставить БС() рассчитать Будущую стоимость и по методу простых процентов (см. файл примера ).
Сложные проценты
При использовании сложных ставок процентов процентные деньги, начисленные после каждого периода начисления, присоединяются к сумме долга. Таким образом, база для начисления сложных процентов в отличие от использования простых процентов изменяется в каждом периоде начисления. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, называется капитализацией процентов. Иногда этот метод называют «процент на процент» (см. файл примера ). Формула для расчета Будущей стоимости в случае начисления по сложным процентам имеет следующий вид:
где PV — настоящая (приведенная) стоимость (сумма, которая инвестируется в настоящий момент и на которую начисляется процент); i — процентная ставка за период начисления процентов (например, если проценты начисляются раз в год, то годовая; если проценты начисляются ежемесячно, то за месяц). Предполагается, что процентная ставка не изменяется в течение всего срока инвестирования; n – количество периодов времени, в течение которого начисляются проценты.
Про вычисление Будущей стоимости по сложным процентам можно прочитать в статье Сложные проценты в MS EXCEL . В этой статье разобраны случаи применения функции БС() и формула капитализации m раз в год. В статье Сложные проценты в MS EXCEL. Переменная ставка разобраны случаи применения функции БЗРАСПИС() для расчета будущей стоимости при переменной ставке. В статье Непрерывные проценты Будущая стоимость рассчитывается при непрерывном начислении процентов.
Аннуитет
Если, помимо начальной инвестиции, через равные периоды времени производятся дополнительные равновеликие платежи (дополнительные инвестиции), то расчет Будущей стоимости существенно усложняется См. статью Аннуитет. Определяем в MS EXCEL Будущую Стоимость .
В случае, если сумма начальной инвестиции =0 и нужно определить Будущую стоимость периодических равновеликих платежей, то это можно сделать по формуле (см. файл примера ):
FV = PMT * (((1+i)^n)-1) / i
где PMT – размер платежа при аннуитете; i — процентная ставка за период начисления процентов (например, если проценты начисляются раз в год, то годовая; если проценты начисляются ежемесячно, то за месяц). В формуле предполагается, что проценты начисляются в конце периода; n – количество периодов времени, в течение которых начисляются проценты (и делаются платежи).
Источник https://fin-accounting.ru/cfa/l1/quantitative/cfa-how-to-calculate-future-value-of-cash-flow-fv
Источник https://journal.open-broker.ru/services/kalkulyator-stoimosti-tseli/
Источник https://excel2.ru/articles/raschet-budushchey-stoimosti-v-ms-excel